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Harris角点是图像特征提取中最基本的方法，本篇内容将详细分析Harris角点的定义、计算方法、特点。

一、Harris角点定义

在图像中，若以正方形的小像素窗口为基本单位，按照上图可以将它们划分三种类型如下：

• 平坦区域：在任何方向上移动窗口，窗口内容变化都不大
• 边缘：在某一方向上移动窗口，窗口内容变化较大（如图中上下移动基本不变，而左右移动时窗口内容变化较大）
• 角点：在任何方向上移动窗口，窗口内容变化都很大

从人类角度直观理解，图像的关键特征点应该是那些与周围图像存在明显差异的点。
（以灰度图为例，其实就是该点的灰度值与周围点差别较大，那么就可以通过计算其与周围点的灰度差值，即导数来判断）。

以像素窗口为基本单位时，我们将这些与周围图像差异较大的小窗口称为角点，用它们就可以代表图像中具有辨别性的、关键特征区域。

二、Harris角点计算方法

1. 计算窗口内容差异情况

角点是指与周围存在较大内容差异的像素窗口，那么我们首先要给出小窗口与周围窗口的差异情况的计算方法，在方向(u,v)上移动称之为窗口响应值E(u,v)

$$E(u,v)=\sum _{x,y}w(x,y)[I(x+u,y+v)-I(x,y){]}^2$$

• 红色小窗口为原始窗口用I(x,y)表示，绿色为移动后的窗口I(x+u,y+v)，其中(u,v)其实便代表了移动的方向。
• w(x,y)代表了原始窗口中不同像素点的权重
• 公式含义即为将移动前后每个像素的灰度值差求平方，并根据各像素点权重求和作为两个窗口的内容差异E（u,v）

2.窗口内容差异E =》由矩阵M决定

为了更方便的计算窗口在移动前后的响应值，我们将E（u,v）的公式进行一系列的数学变换，首先是做二元泰勒展开：

展开式前两项为0，最后一项可以通过矩阵的形式表示为：
$$E(u,v)\approx \left[\begin{array}{cc}u& v\end{array}\right]M\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$$
$$M=\sum _{x,y}w(x,y)\left[\begin{array}{cc}{I}_x^2& I_x{I}_y\\ I_x{I}_y& I_y^2\end{array}\right]$$

根据公式我们发现，E(u,v)的取值即窗口在不同方向(u,v)移动后的相对差异情况关键取决于矩阵M，即不用关心方向(u,v)，而是通过矩阵M就可以判断是否为角点（$I_x$代表在x方向上的梯度）

3.窗口内容差异E =》由矩阵M决定 =》由特征值λ决定

通过矩阵M判断角点可以进一步简化为通过矩阵M的特征值λ来判断。

当M可以变化为对角矩阵时（不能对角化的情况稍后说明），E(u,v)最终结果为$u^2{\lambda }_1+v^2{\lambda }_2$，假设取值为常数c（取1），即有：

$$E(u,v)=\left[\begin{array}{cc}u& v\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=u^2{\lambda }_1+v^2{\lambda }_2$$
$$\frac{u^2}{{\lambda }_1}+\frac{v^2}{{\lambda }_2}=1$$
该方程的几何表示为椭圆如下：

• 即当在以长短轴为方向的坐标系上，椭圆边界线上为移动后具有相同响应值E(u,v)的点；
• 即当要让窗口移动后具有相同响应值（内容差异），沿短轴方向移动最短距离，沿长轴移动需要的距离最长——代表短轴是梯度变化最快的方向，长轴是梯度变化最慢方向

若二阶矩矩阵M不能直接对角化时，我们可以将其转为以下形式：
$$M=R^{-1}\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]R$$
其中R为旋转矩阵，即此时几何表示为发生了旋转的椭圆，而长短轴依然代表梯度变化最慢和最快的方向：

因此，根据角点的定义可知——任何方向上都有较大梯度变化 =》椭圆的长短轴都要短 =》特征值${\lambda }_1$、${\lambda }_2$都要大

• 当${\lambda }_1$、${\lambda }_2$都大，在任何方向梯度都大、E增加的快，即为角点
• 当${\lambda }_1$、${\lambda }_2$其中一个远比另一个大，则说明在最快方向变化特快、同时有一个方向几乎不变，这是边缘区域
• 当${\lambda }_1$、${\lambda }_2$都很小，在任何方向梯度逗笑、E变化的慢，即为平坦区域

4.窗口内容差异E =》由矩阵M决定 =》由特征值λ决定 =》由计算R决定

R由特征值${\lambda }_1$、${\lambda }_2$计算得到，公式为：
$$R=Det(M)-\alpha \ast Trace(M{)}^2={\lambda }_1{\lambda }_2-\alpha ({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^2$$
可知当${\lambda }_1$、${\lambda }_2$分别处于3中所说的三种状态时，对应R有：

• 当${\lambda }_1$、${\lambda }_2$都大，R>0，即为角点
• 当${\lambda }_1$、${\lambda }_2$其中一个远比另一个大，R<0，这是边缘区域
• 当${\lambda }_1$、${\lambda }_2$都很小，R接近0，即为平坦区域

三、Harris角点的特点

上图为使用Harris角点检测获取的关键点。

对于理想的图像特征点，应该可以抵抗光照、旋转、平移、尺度等变化，即具有不变性（Invariance）或协变性（Covariance）

• 不变性（Invariance）：变换后原特征点仍能被检测出来、且位置不变；
• 协变性（Covariance）：变换后原特征点仍能被检测出来，但位置可能发生变化

3.1 优点

针对Harris角点来说，能够抵抗光照、旋转、平移变换（该部分图片来自知乎@饭饭）：

光照：光照变换会使得区域像素灰度值整体提高或降低

• 当增量或这减量相同（灰度平移）时，对基于像素间灰度差值（梯度）的角点判断方法不影响，已经被检测出来的角点能够保持不变性。
• 当相比原来灰度成倍增加或减少（尺度平移），阈值不变时可能导致检测角点的数量增加或减少，但同时被检测出的相同角点位置不变

旋转：当发生旋转时，相当于二阶矩矩阵对应几何椭圆旋转（即梯度变化最快最慢的方向发生变化），但特征值不变，角点本身只有位置可能发生了变化，即具有协变性
平移：与旋转类似，角点位置发生变化，具有协变性，但梯度变化最快最慢方向不变

3.2 缺点

Harris角点并不具有尺度不变性，当图像尺度缩小时，原来的角点区域可能被判断为边缘、甚至进一步平坦区域；反之尺度放大时也会导致原角点找不到对应角点的情况出现；为了在此基础上保持尺度不变性，可以使用后续的SIFT特征检测方法。